3.188 \(\int (g \cos (e+f x))^{-1-m-n} (a+a \sin (e+f x))^m (c-c \sin (e+f x))^{-3+n} \, dx\)

Optimal. Leaf size=290 \[ \frac {6 (a \sin (e+f x)+a)^m (c-c \sin (e+f x))^n (g \cos (e+f x))^{-m-n}}{c^3 f g (m-n) (m-n+2) (m-n+4) (m-n+6)}+\frac {6 (a \sin (e+f x)+a)^m (c-c \sin (e+f x))^{n-1} (g \cos (e+f x))^{-m-n}}{c^2 f g (m-n+2) (m-n+4) (m-n+6)}+\frac {(a \sin (e+f x)+a)^m (c-c \sin (e+f x))^{n-3} (g \cos (e+f x))^{-m-n}}{f g (m-n+6)}+\frac {3 (a \sin (e+f x)+a)^m (c-c \sin (e+f x))^{n-2} (g \cos (e+f x))^{-m-n}}{c f g (m-n+4) (m-n+6)} \]

[Out]

(g*cos(f*x+e))^(-n-m)*(a+a*sin(f*x+e))^m*(c-c*sin(f*x+e))^(-3+n)/f/g/(6+m-n)+3*(g*cos(f*x+e))^(-n-m)*(a+a*sin(
f*x+e))^m*(c-c*sin(f*x+e))^(-2+n)/c/f/g/(4+m-n)/(6+m-n)+6*(g*cos(f*x+e))^(-n-m)*(a+a*sin(f*x+e))^m*(c-c*sin(f*
x+e))^(-1+n)/c^2/f/g/(2+m-n)/(4+m-n)/(6+m-n)+6*(g*cos(f*x+e))^(-n-m)*(a+a*sin(f*x+e))^m*(c-c*sin(f*x+e))^n/c^3
/f/g/(m-n)/(2+m-n)/(4+m-n)/(6+m-n)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.94, antiderivative size = 290, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 4, number of rules used = 2, integrand size = 45, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.044, Rules used = {2849, 2848} \[ \frac {6 (a \sin (e+f x)+a)^m (c-c \sin (e+f x))^{n-1} (g \cos (e+f x))^{-m-n}}{c^2 f g (m-n+2) (m-n+4) (m-n+6)}+\frac {6 (a \sin (e+f x)+a)^m (c-c \sin (e+f x))^n (g \cos (e+f x))^{-m-n}}{c^3 f g (m-n) (m-n+2) (m-n+4) (m-n+6)}+\frac {(a \sin (e+f x)+a)^m (c-c \sin (e+f x))^{n-3} (g \cos (e+f x))^{-m-n}}{f g (m-n+6)}+\frac {3 (a \sin (e+f x)+a)^m (c-c \sin (e+f x))^{n-2} (g \cos (e+f x))^{-m-n}}{c f g (m-n+4) (m-n+6)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(g*Cos[e + f*x])^(-1 - m - n)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-3 + n),x]

[Out]

((g*Cos[e + f*x])^(-m - n)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-3 + n))/(f*g*(6 + m - n)) + (3*(g*Cos
[e + f*x])^(-m - n)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-2 + n))/(c*f*g*(4 + m - n)*(6 + m - n)) + (6
*(g*Cos[e + f*x])^(-m - n)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 + n))/(c^2*f*g*(2 + m - n)*(4 + m -
n)*(6 + m - n)) + (6*(g*Cos[e + f*x])^(-m - n)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^n)/(c^3*f*g*(m - n
)*(2 + m - n)*(4 + m - n)*(6 + m - n))

Rule 2848

Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) +
(f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(b*(g*Cos[e + f*x])^(p + 1)*(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^
n)/(a*f*g*(m - n)), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n, p}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &
& EqQ[m + n + p + 1, 0] && NeQ[m, n]

Rule 2849

Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) +
(f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(b*(g*Cos[e + f*x])^(p + 1)*(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^
n)/(a*f*g*(2*m + p + 1)), x] + Dist[(m + n + p + 1)/(a*(2*m + p + 1)), Int[(g*Cos[e + f*x])^p*(a + b*Sin[e + f
*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n, p}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] &
& EqQ[a^2 - b^2, 0] && ILtQ[Simplify[m + n + p + 1], 0] && NeQ[2*m + p + 1, 0] && (SumSimplerQ[m, 1] ||  !SumS
implerQ[n, 1])

Rubi steps

\begin {align*} \int (g \cos (e+f x))^{-1-m-n} (a+a \sin (e+f x))^m (c-c \sin (e+f x))^{-3+n} \, dx &=\frac {(g \cos (e+f x))^{-m-n} (a+a \sin (e+f x))^m (c-c \sin (e+f x))^{-3+n}}{f g (6+m-n)}+\frac {3 \int (g \cos (e+f x))^{-1-m-n} (a+a \sin (e+f x))^m (c-c \sin (e+f x))^{-2+n} \, dx}{c (6+m-n)}\\ &=\frac {(g \cos (e+f x))^{-m-n} (a+a \sin (e+f x))^m (c-c \sin (e+f x))^{-3+n}}{f g (6+m-n)}+\frac {3 (g \cos (e+f x))^{-m-n} (a+a \sin (e+f x))^m (c-c \sin (e+f x))^{-2+n}}{c f g (4+m-n) (6+m-n)}+\frac {6 \int (g \cos (e+f x))^{-1-m-n} (a+a \sin (e+f x))^m (c-c \sin (e+f x))^{-1+n} \, dx}{c^2 (4+m-n) (6+m-n)}\\ &=\frac {(g \cos (e+f x))^{-m-n} (a+a \sin (e+f x))^m (c-c \sin (e+f x))^{-3+n}}{f g (6+m-n)}+\frac {3 (g \cos (e+f x))^{-m-n} (a+a \sin (e+f x))^m (c-c \sin (e+f x))^{-2+n}}{c f g (4+m-n) (6+m-n)}+\frac {6 (g \cos (e+f x))^{-m-n} (a+a \sin (e+f x))^m (c-c \sin (e+f x))^{-1+n}}{c^2 f g (2+m-n) (4+m-n) (6+m-n)}+\frac {6 \int (g \cos (e+f x))^{-1-m-n} (a+a \sin (e+f x))^m (c-c \sin (e+f x))^n \, dx}{c^3 (2+m-n) (4+m-n) (6+m-n)}\\ &=\frac {(g \cos (e+f x))^{-m-n} (a+a \sin (e+f x))^m (c-c \sin (e+f x))^{-3+n}}{f g (6+m-n)}+\frac {3 (g \cos (e+f x))^{-m-n} (a+a \sin (e+f x))^m (c-c \sin (e+f x))^{-2+n}}{c f g (4+m-n) (6+m-n)}+\frac {6 (g \cos (e+f x))^{-m-n} (a+a \sin (e+f x))^m (c-c \sin (e+f x))^{-1+n}}{c^2 f g (2+m-n) (4+m-n) (6+m-n)}+\frac {6 (g \cos (e+f x))^{-m-n} (a+a \sin (e+f x))^m (c-c \sin (e+f x))^n}{c^3 f g (m-n) (2+m-n) (4+m-n) (6+m-n)}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [B]  time = 38.70, size = 2681, normalized size = 9.24 \[ \text {Result too large to show} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(g*Cos[e + f*x])^(-1 - m - n)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-3 + n),x]

[Out]

-((2^(-4 - m + 2*n)*Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^(2*m)*Cos[e + f*x]*(g*Cos[e + f*x])^(-1 - m - n)*Csc[(-e + Pi/2 -
f*x)/2]^6*(Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/8]*(-Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/8] + Sin[(3*(-e + Pi/2 - f*x))/8]))^(2*n)*(Cos[(-
e + Pi/2 - f*x)/8]*(-Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/8] + Sin[(3*(-e + Pi/2 - f*x))/8] - Sin[(5*(-e + Pi/2 - f*x))/8] +
Sin[(7*(-e + Pi/2 - f*x))/8]))^(-m - n)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-3 + n)*(-30 - 46*m - 18*
m^2 - 2*m^3 + 46*n + 36*m*n + 6*m^2*n - 18*n^2 - 6*m*n^2 + 2*n^3 - 6*(3 + m - n)*Cos[2*(-e + Pi/2 - f*x)] + 3*
Cos[3*(-e + Pi/2 - f*x)] + 3*(15 + 2*m^2 - 4*m*(-3 + n) - 12*n + 2*n^2)*Sin[e + f*x])*(Cos[Pi/4 + (e - Pi/2 +
f*x)/2] - Sin[Pi/4 + (e - Pi/2 + f*x)/2])^(-7 + 2*n))/(f*(m - n)*(2 + m - n)*(4 + m - n)*(6 + m - n)*(Cos[(e +
f*x)/2] - Sin[(e + f*x)/2])^(2*(-3 + n))*((2^(-4 - m + 2*n)*Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^(2*m)*Csc[(-e + Pi/2 - f
*x)/2]^6*(Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/8]*(-Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/8] + Sin[(3*(-e + Pi/2 - f*x))/8]))^(2*n)*(Cos[(-e
+ Pi/2 - f*x)/8]*(-Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/8] + Sin[(3*(-e + Pi/2 - f*x))/8] - Sin[(5*(-e + Pi/2 - f*x))/8] + Si
n[(7*(-e + Pi/2 - f*x))/8]))^(-m - n)*(-3*(15 + 2*m^2 - 4*m*(-3 + n) - 12*n + 2*n^2)*Cos[e + f*x] + 12*(3 + m
- n)*Sin[2*(-e + Pi/2 - f*x)] - 9*Sin[3*(-e + Pi/2 - f*x)]))/((m - n)*(2 + m - n)*(4 + m - n)*(6 + m - n)) - (
2^(-4 - m + 2*n)*m*Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^(-1 + 2*m)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^5*(Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/8]*(-
Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/8] + Sin[(3*(-e + Pi/2 - f*x))/8]))^(2*n)*(Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/8]*(-Sin[(-e + Pi/2 - f
*x)/8] + Sin[(3*(-e + Pi/2 - f*x))/8] - Sin[(5*(-e + Pi/2 - f*x))/8] + Sin[(7*(-e + Pi/2 - f*x))/8]))^(-m - n)
*(-30 - 46*m - 18*m^2 - 2*m^3 + 46*n + 36*m*n + 6*m^2*n - 18*n^2 - 6*m*n^2 + 2*n^3 - 6*(3 + m - n)*Cos[2*(-e +
Pi/2 - f*x)] + 3*Cos[3*(-e + Pi/2 - f*x)] + 3*(15 + 2*m^2 - 4*m*(-3 + n) - 12*n + 2*n^2)*Sin[e + f*x]))/((m -
n)*(2 + m - n)*(4 + m - n)*(6 + m - n)) - (3*2^(-4 - m + 2*n)*Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^(1 + 2*m)*Csc[(-e + Pi
/2 - f*x)/2]^7*(Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/8]*(-Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/8] + Sin[(3*(-e + Pi/2 - f*x))/8]))^(2*n)*(Co
s[(-e + Pi/2 - f*x)/8]*(-Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/8] + Sin[(3*(-e + Pi/2 - f*x))/8] - Sin[(5*(-e + Pi/2 - f*x))/8
] + Sin[(7*(-e + Pi/2 - f*x))/8]))^(-m - n)*(-30 - 46*m - 18*m^2 - 2*m^3 + 46*n + 36*m*n + 6*m^2*n - 18*n^2 -
6*m*n^2 + 2*n^3 - 6*(3 + m - n)*Cos[2*(-e + Pi/2 - f*x)] + 3*Cos[3*(-e + Pi/2 - f*x)] + 3*(15 + 2*m^2 - 4*m*(-
3 + n) - 12*n + 2*n^2)*Sin[e + f*x]))/((m - n)*(2 + m - n)*(4 + m - n)*(6 + m - n)) + (2^(-3 - m + 2*n)*n*Cos[
(-e + Pi/2 - f*x)/2]^(2*m)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^6*(Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/8]*(-Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/8] + S
in[(3*(-e + Pi/2 - f*x))/8]))^(-1 + 2*n)*(Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/8]*(-1/8*Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/8] + (3*Cos[(3*
(-e + Pi/2 - f*x))/8])/8) - (Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/8]*(-Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/8] + Sin[(3*(-e + Pi/2 - f*x))/8
]))/8)*(Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/8]*(-Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/8] + Sin[(3*(-e + Pi/2 - f*x))/8] - Sin[(5*(-e + Pi/2
- f*x))/8] + Sin[(7*(-e + Pi/2 - f*x))/8]))^(-m - n)*(-30 - 46*m - 18*m^2 - 2*m^3 + 46*n + 36*m*n + 6*m^2*n -
18*n^2 - 6*m*n^2 + 2*n^3 - 6*(3 + m - n)*Cos[2*(-e + Pi/2 - f*x)] + 3*Cos[3*(-e + Pi/2 - f*x)] + 3*(15 + 2*m^
2 - 4*m*(-3 + n) - 12*n + 2*n^2)*Sin[e + f*x]))/((m - n)*(2 + m - n)*(4 + m - n)*(6 + m - n)) + (2^(-4 - m + 2
*n)*(-m - n)*Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^(2*m)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^6*(Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/8]*(-Sin[(-e + P
i/2 - f*x)/8] + Sin[(3*(-e + Pi/2 - f*x))/8]))^(2*n)*(Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/8]*(-Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/8] + Si
n[(3*(-e + Pi/2 - f*x))/8] - Sin[(5*(-e + Pi/2 - f*x))/8] + Sin[(7*(-e + Pi/2 - f*x))/8]))^(-1 - m - n)*(Cos[(
-e + Pi/2 - f*x)/8]*(-1/8*Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/8] + (3*Cos[(3*(-e + Pi/2 - f*x))/8])/8 - (5*Cos[(5*(-e + Pi/2
- f*x))/8])/8 + (7*Cos[(7*(-e + Pi/2 - f*x))/8])/8) - (Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/8]*(-Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/8] +
Sin[(3*(-e + Pi/2 - f*x))/8] - Sin[(5*(-e + Pi/2 - f*x))/8] + Sin[(7*(-e + Pi/2 - f*x))/8]))/8)*(-30 - 46*m -
18*m^2 - 2*m^3 + 46*n + 36*m*n + 6*m^2*n - 18*n^2 - 6*m*n^2 + 2*n^3 - 6*(3 + m - n)*Cos[2*(-e + Pi/2 - f*x)] +
3*Cos[3*(-e + Pi/2 - f*x)] + 3*(15 + 2*m^2 - 4*m*(-3 + n) - 12*n + 2*n^2)*Sin[e + f*x]))/((m - n)*(2 + m - n)
*(4 + m - n)*(6 + m - n)))*(Cos[Pi/4 + (e - Pi/2 + f*x)/2] + Sin[Pi/4 + (e - Pi/2 + f*x)/2])))

________________________________________________________________________________________

fricas [A]  time = 0.53, size = 264, normalized size = 0.91 \[ -\frac {{\left (6 \, {\left (m - n + 3\right )} \cos \left (f x + e\right )^{3} - {\left (m^{3} + 3 \, {\left (m + 3\right )} n^{2} - n^{3} + 9 \, m^{2} - {\left (3 \, m^{2} + 18 \, m + 26\right )} n + 26 \, m + 24\right )} \cos \left (f x + e\right ) - 3 \, {\left (2 \, \cos \left (f x + e\right )^{3} - {\left (m^{2} - 2 \, {\left (m + 3\right )} n + n^{2} + 6 \, m + 8\right )} \cos \left (f x + e\right )\right )} \sin \left (f x + e\right )\right )} \left (g \cos \left (f x + e\right )\right )^{-m - n - 1} {\left (a \sin \left (f x + e\right ) + a\right )}^{m} e^{\left (2 \, {\left (n - 3\right )} \log \left (g \cos \left (f x + e\right )\right ) - {\left (n - 3\right )} \log \left (a \sin \left (f x + e\right ) + a\right ) + {\left (n - 3\right )} \log \left (\frac {a c}{g^{2}}\right )\right )}}{f m^{4} + f n^{4} + 12 \, f m^{3} - 4 \, {\left (f m + 3 \, f\right )} n^{3} + 44 \, f m^{2} + 2 \, {\left (3 \, f m^{2} + 18 \, f m + 22 \, f\right )} n^{2} + 48 \, f m - 4 \, {\left (f m^{3} + 9 \, f m^{2} + 22 \, f m + 12 \, f\right )} n} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((g*cos(f*x+e))^(-1-m-n)*(a+a*sin(f*x+e))^m*(c-c*sin(f*x+e))^(-3+n),x, algorithm="fricas")

[Out]

-(6*(m - n + 3)*cos(f*x + e)^3 - (m^3 + 3*(m + 3)*n^2 - n^3 + 9*m^2 - (3*m^2 + 18*m + 26)*n + 26*m + 24)*cos(f
*x + e) - 3*(2*cos(f*x + e)^3 - (m^2 - 2*(m + 3)*n + n^2 + 6*m + 8)*cos(f*x + e))*sin(f*x + e))*(g*cos(f*x + e
))^(-m - n - 1)*(a*sin(f*x + e) + a)^m*e^(2*(n - 3)*log(g*cos(f*x + e)) - (n - 3)*log(a*sin(f*x + e) + a) + (n
- 3)*log(a*c/g^2))/(f*m^4 + f*n^4 + 12*f*m^3 - 4*(f*m + 3*f)*n^3 + 44*f*m^2 + 2*(3*f*m^2 + 18*f*m + 22*f)*n^2
+ 48*f*m - 4*(f*m^3 + 9*f*m^2 + 22*f*m + 12*f)*n)

________________________________________________________________________________________

giac [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int \left (g \cos \left (f x + e\right )\right )^{-m - n - 1} {\left (a \sin \left (f x + e\right ) + a\right )}^{m} {\left (-c \sin \left (f x + e\right ) + c\right )}^{n - 3}\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((g*cos(f*x+e))^(-1-m-n)*(a+a*sin(f*x+e))^m*(c-c*sin(f*x+e))^(-3+n),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((g*cos(f*x + e))^(-m - n - 1)*(a*sin(f*x + e) + a)^m*(-c*sin(f*x + e) + c)^(n - 3), x)

________________________________________________________________________________________

maple [F]  time = 2.98, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int \left (g \cos \left (f x +e \right )\right )^{-1-m -n} \left (a +a \sin \left (f x +e \right )\right )^{m} \left (c -c \sin \left (f x +e \right )\right )^{-3+n}\, dx \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((g*cos(f*x+e))^(-1-m-n)*(a+a*sin(f*x+e))^m*(c-c*sin(f*x+e))^(-3+n),x)

[Out]

int((g*cos(f*x+e))^(-1-m-n)*(a+a*sin(f*x+e))^m*(c-c*sin(f*x+e))^(-3+n),x)

________________________________________________________________________________________

maxima [F(-2)]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \text {Exception raised: RuntimeError} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((g*cos(f*x+e))^(-1-m-n)*(a+a*sin(f*x+e))^m*(c-c*sin(f*x+e))^(-3+n),x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: RuntimeError >> ECL says: THROW: The catch RAT-ERR is undefined.

________________________________________________________________________________________

mupad [B]  time = 17.65, size = 1623, normalized size = 5.60 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(((a + a*sin(e + f*x))^m*(c - c*sin(e + f*x))^(n - 3))/(g*cos(e + f*x))^(m + n + 1),x)

[Out]

-exp(- e*4i - f*x*4i)*(c - c*((exp(- e*1i - f*x*1i)*1i)/2 - (exp(e*1i + f*x*1i)*1i)/2))^(n - 3)*((3*(a + a*((e
xp(- e*1i - f*x*1i)*1i)/2 - (exp(e*1i + f*x*1i)*1i)/2))^m)/(8*f*(g*(exp(- e*1i - f*x*1i)/2 + exp(e*1i + f*x*1i
)/2))^(m + n + 1)*(m*48i - n*48i - m*n*88i + m*n^2*36i - m^2*n*36i - m*n^3*4i - m^3*n*4i + m^2*44i + m^3*12i +
m^4*1i + n^2*44i - n^3*12i + n^4*1i + m^2*n^2*6i)) - (3*exp(e*8i + f*x*8i)*(a + a*((exp(- e*1i - f*x*1i)*1i)/
2 - (exp(e*1i + f*x*1i)*1i)/2))^m)/(8*f*(g*(exp(- e*1i - f*x*1i)/2 + exp(e*1i + f*x*1i)/2))^(m + n + 1)*(m*48i
- n*48i - m*n*88i + m*n^2*36i - m^2*n*36i - m*n^3*4i - m^3*n*4i + m^2*44i + m^3*12i + m^4*1i + n^2*44i - n^3*
12i + n^4*1i + m^2*n^2*6i)) - (exp(e*2i + f*x*2i)*(a + a*((exp(- e*1i - f*x*1i)*1i)/2 - (exp(e*1i + f*x*1i)*1i
)/2))^m*(36*m - 36*n - 12*m*n + 6*m^2 + 6*n^2 + 42))/(8*f*(g*(exp(- e*1i - f*x*1i)/2 + exp(e*1i + f*x*1i)/2))^
(m + n + 1)*(m*48i - n*48i - m*n*88i + m*n^2*36i - m^2*n*36i - m*n^3*4i - m^3*n*4i + m^2*44i + m^3*12i + m^4*1
i + n^2*44i - n^3*12i + n^4*1i + m^2*n^2*6i)) + (exp(e*6i + f*x*6i)*(a + a*((exp(- e*1i - f*x*1i)*1i)/2 - (exp
(e*1i + f*x*1i)*1i)/2))^m*(36*m - 36*n - 12*m*n + 6*m^2 + 6*n^2 + 42))/(8*f*(g*(exp(- e*1i - f*x*1i)/2 + exp(e
*1i + f*x*1i)/2))^(m + n + 1)*(m*48i - n*48i - m*n*88i + m*n^2*36i - m^2*n*36i - m*n^3*4i - m^3*n*4i + m^2*44i
+ m^3*12i + m^4*1i + n^2*44i - n^3*12i + n^4*1i + m^2*n^2*6i)) + (exp(e*1i + f*x*1i)*(a + a*((exp(- e*1i - f*
x*1i)*1i)/2 - (exp(e*1i + f*x*1i)*1i)/2))^m*(m*6i - n*6i + 18i))/(8*f*(g*(exp(- e*1i - f*x*1i)/2 + exp(e*1i +
f*x*1i)/2))^(m + n + 1)*(m*48i - n*48i - m*n*88i + m*n^2*36i - m^2*n*36i - m*n^3*4i - m^3*n*4i + m^2*44i + m^3
*12i + m^4*1i + n^2*44i - n^3*12i + n^4*1i + m^2*n^2*6i)) + (exp(e*7i + f*x*7i)*(a + a*((exp(- e*1i - f*x*1i)*
1i)/2 - (exp(e*1i + f*x*1i)*1i)/2))^m*(m*6i - n*6i + 18i))/(8*f*(g*(exp(- e*1i - f*x*1i)/2 + exp(e*1i + f*x*1i
)/2))^(m + n + 1)*(m*48i - n*48i - m*n*88i + m*n^2*36i - m^2*n*36i - m*n^3*4i - m^3*n*4i + m^2*44i + m^3*12i +
m^4*1i + n^2*44i - n^3*12i + n^4*1i + m^2*n^2*6i)) - (exp(e*3i + f*x*3i)*(a + a*((exp(- e*1i - f*x*1i)*1i)/2
- (exp(e*1i + f*x*1i)*1i)/2))^m*(m*86i - n*86i - m*n*72i + m*n^2*12i - m^2*n*12i + m^2*36i + m^3*4i + n^2*36i
- n^3*4i + 42i))/(8*f*(g*(exp(- e*1i - f*x*1i)/2 + exp(e*1i + f*x*1i)/2))^(m + n + 1)*(m*48i - n*48i - m*n*88i
+ m*n^2*36i - m^2*n*36i - m*n^3*4i - m^3*n*4i + m^2*44i + m^3*12i + m^4*1i + n^2*44i - n^3*12i + n^4*1i + m^2
*n^2*6i)) - (exp(e*5i + f*x*5i)*(a + a*((exp(- e*1i - f*x*1i)*1i)/2 - (exp(e*1i + f*x*1i)*1i)/2))^m*(m*86i - n
*86i - m*n*72i + m*n^2*12i - m^2*n*12i + m^2*36i + m^3*4i + n^2*36i - n^3*4i + 42i))/(8*f*(g*(exp(- e*1i - f*x
*1i)/2 + exp(e*1i + f*x*1i)/2))^(m + n + 1)*(m*48i - n*48i - m*n*88i + m*n^2*36i - m^2*n*36i - m*n^3*4i - m^3*
n*4i + m^2*44i + m^3*12i + m^4*1i + n^2*44i - n^3*12i + n^4*1i + m^2*n^2*6i)))

________________________________________________________________________________________

sympy [F(-1)]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \text {Timed out} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((g*cos(f*x+e))**(-1-m-n)*(a+a*sin(f*x+e))**m*(c-c*sin(f*x+e))**(-3+n),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________